Phương pháp phần tử hữu hạn ra đời vào cuối những năm 50 nhưng rất ít được sử dụng vì công cụ toán học còn chưa phát triển. Vào cuối những năm 60 phương pháp phần tử hữu hạn đặc biệt phát triển nhờ vào sự phát triển nhanh và sử dụng rộng rãi của máy tính điện tử. Đến nay có thể nói rằng phương pháp phần tử hữu hạn được coi là phương pháp có hiệu quả nhất để giải các bài toán cơ học vật rắn nói riêng và cơ học môi trường liên tục nói chung như các bài toán thủy khí lực học, bài toán về từ trường và điện trường.
Một trong những ưu điểm nổi bật của phương pháp phần tử hữu hạn là dễ dàng lập chương trình để giải trên máy tính, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự động
34
hóa tính toán hàng loạt kết cấu với những kích thước, hình dạng, mô hình vật liệu và điều kiện biên rất khác nhau.
Phương pháp phần tử hữu hạn cũng thuộc loại bài toán biến phân, song nó khác với các phương pháp biến phân cổ điển như phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin …. ở chỗ nó không tìm dạng hàm xấp xỉ của hàm cần tìm trong toàn miền xác định mà chỉ trong từng miền con thuộc miền xác định đó. Điều này đặc biệt thuận lợi đối với những bài toán mà miền xác định gồm nhiều miền con có những đặc tính khác nhau, ví dụ như bài toán phân tích ứng suất trong đập, trong nền không đồng chất ….
Trình tự giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn như sau: 1. Chọn loại và dạng hình học của phần tử hữu hạn.
2. Rời rạc hóa kết cấu thành một lưới các phần tử hữu hạn, mức độ thưa mau phụ thuộc vào yêu cầu quy định về độ chính xác của kết quả tính toán. Lập véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu rời rạc {Δ} (véc tơ ẩn chuyển vị).
3. Giả thiết hàm chuyển vị cho phần tử đã chọn để tính toán.
4. Lập ma trận độ cứng của các phần tử dưới dạng các công thức để có thể tính ma trận độ cứng của từng phần tử.
5. Tập hợp các ma trận độ cứng phần tử thành ma trận độ cứng của toàn kết cấu rời rạc hóa. Ma trận này phù hợp chặt chẽ với véc tơ chuyển vị nút về thứ tự, thành phần và kích thước.
6. Xác định véc tơ tải tương đương (lực nút) của kết cấu rời rạc hóa bằng các tập hợp các véc tơ tải của từng phần tử. Véc tơ tải này tương ứng với véc tơ chuyển vị nút về thứ tự và thành phần.
7. Dùng điều kiện biên của kết cấu để khử tính suy biến của ma trận độ cứng của kết cấu đã lập ở bước 5.
8. Giải hệ phương trình [K].{Δ} = {F} để tìm véc tơ chuyển vị nút của kết cấu rời rạc hóa.
35
10. Vẽ các biểu đồ biểu diễn kết quả.
Tùy thuộc bài toán cần giải có thể sử dụng các loại phần tử dạng thanh, dạng phẳng hoặc phần tử khối.
Tùy theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ mà trong các bài toán kết cấu ta thường chia ra làm ba loại mô hình:
a. Mô hình tương thích: ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange.
b. Mô hình cân bằng: ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố ứng suất hoặc nội lực trong phần tử. Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano.
c. Mô hình hỗn hợp: ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Ta coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reissner – Hellinger.
Dạng đa thức được chọn như thế nào đó để bài toán hội tụ, có nghĩa là đa thức cần phải chọn như thế nào đó để khi tăng số phần tử lên khá lớn thì kết quả tính toán sẽ tiệm cận với kết quả chính xác.
Trong phạm vi của mỗi phần tử giả thiết một dạng phân bố xác định nào đó của hàm cần tìm. Đối với bài toán kết cấu thì hàm xấp xỉ có thể là hàm chuyển vị hoặc hàm ứng suất hoặc cả hàm chuyển vị và ứng suất.
Hàm xấp xỉ phải chọn sao cho đảm bảo một số yêu cầu nhất định, trước tiên là phải thỏa mãn các phương trình của lý thuyết đàn hồi (bài toán kết cấu), hoặc định luật Darcy (bài toán thấm). Song để thoả mãn chặt chẽ tất cả các yêu cầu thì sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc lựa chọn mô hình và lập thuật toán giải. Do đó trong thực tế người ta phải giảm bớt một số yêu cầu nào đó nhưng vẫn đảm bảo được nghiệm đạt độ chính xác yêu cầu.
36